Question

【题目】已知y=ax2+bx（a＜0）通过点（1，2），且其图象与y=﹣x2+2x的图象有二个交点（如图所示）．

（1）求y=ax2+bx与y=﹣x2+2x所围成的面积S与a的函数关系；
（2）当a，b为何值时，S取得最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由y=ax2+bx通过点（1，2）可得a+b=2

即b=2﹣a，由 ，解得

则y=ax2+bx与y=﹣x2+2x所围成的面积S与a的函数关系为

（2）解：由 ，得 ，

由S'=0得a=﹣3，a=﹣1，

当a=﹣1时，两曲线只有一个交点，不合题意．

当a＜﹣3，S'＜0，当a＞﹣3S'＞0，

所以当a=﹣3时，S取得极小值，即最小值，此时b=2﹣a=5，

【解析】（1）有已知可得其中一个交点是原点，把另一个交点表示出来，再利用定积分把面积表示处理即可；（2）结合（1）利用导数求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减)．