Question

【题目】已知函数有两个不同的极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）设，讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．

【解析】

(Ⅰ)由题意，求得，令，得，设，转化为直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求解的取值范围；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，且，求得函数的单调性和极值，分类讨论，即可确定函数的极值点的个数.

(Ⅰ)由题意，求得，因为有两个不同的极值点，则有两个不同的零点．

令，则，即.

设，则直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点．

因为，由，得ln x＜0，即，所以在上单调递增，在上单调递减，从而.

因为当时，；当时，；当时，，

所以a的取值范围是．

(Ⅱ)因为，为的两个极值点，则，为直线与曲线的两个交点的横坐标．

由(Ⅰ)可知，，且，

因为当或时，，即；当时，，即，

则在，上单调递减，在上单调递增，

所以的极小值点为，极大值点为.

当时，因为，，，则，

所以在区间内无零点．

因为，，则

①当，即时，.

又，则，所以

.

此时在和内各有1个零点，且.

②当，即时，，此时在内有1个零点，且.

③当，即时，，此时在内无零点，且.

综上分析，当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．