Question

【题目】已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线为，过点P且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为_______．

Answer 1

【答案】1

【解析】

设，,则：，，利用导数求得切线的斜率为，即可求得直线斜率为，表示出直线的方程：，联立直线与抛物线方程可得，利用韦达定理可得，由OP⊥OQ可得，整理得，解方程，问题得解。

依据题意直作出图象，如下：

设，,则：，.

因为

所以曲线C在点P处的切线斜率为：，

又过点P且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，所以

且，所以

所以直线的方程为：

联立直线与抛物线方程可得：，

整理得：.

所以

又因为OP⊥OQ，所以,即：，整理得：.

所以，解得：

所以

所以点P的纵坐标为