Question

【题目】已知函数 ，m∈R．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（﹣2，3）上是减函数，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=1时， ，

又f'（x）=x2+2x﹣3，所以f'（2）=5．

又 ，

所以所求切线方程为 ，即15x﹣3y﹣25=0．

所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为15x﹣3y﹣25=0

（2）解：因为f'（x）=x2+2mx﹣3m2，

令f'（x）=0，得x=﹣3m或x=m．

当m=0时，f'（x）=x2≥0恒成立，不符合题意．

当m＞0时，f（x）的单调递减区间是（﹣3m，m），若f（x）在区间（﹣2，3）上是减函数，

则 解得m≥3．

当m＜0时，f（x）的单调递减区间是（m，﹣3m），若f（x）在区间（﹣2，3）上是减函数，

则 ，解得m≤﹣2．

综上所述，实数m的取值范围是m≥3或m≤﹣2

【解析】（1）把m=1代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；（2）已知f（x）在区间（﹣2，3）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（﹣2，3）上恒成立，然后用导数求f（x）的单调递减区间，再对m进行分类讨论建立关于m的不等关系解之即可得到m的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．