Question

如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在右面画出（单位：cm）．（1）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（2）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．

Answer 1

分析：（1）按照给出的尺寸，利用切割法得V=V_长方体-V_正三棱锥，代入体积公式求该多面体的体积；
（2）在长方体ABCD-A′B′C′D′中，连接AD′，根据条件和长方体的几何特征证明EG∥BC′，再由线面平行的判定定理证明BC′∥面EFG．

解答：解：（1）由题意可得：
所求多面体体积V=V_长方体-V_正三棱锥
=4×4×6-

1

3

×

1

2

×2×2×2=

284

3

（cm²），
（2）证明：如图，
由多面体的左视图可得：点G、F分别是正方形的中点，
在长方体ABCD-A′B′C′D′中，连接AD′，
则AD′∥BC′
∵E，G分别为AA′，A′D′中点，
∴AD′∥EG，从而EG∥BC′，
又∵EG?平面EFG，BC′?平面EFG，
∴BC′∥平面EFG．

点评：本题主要考查由三视图求面积、体积，求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等性质，各种类型的几何体求体积的公式；以及证明线面平行的判定定理以及证明过程．