Question

【题目】已知函数，其导函数为，函数，对任意，不等式恒成立.

（1）求实数的值；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先得到，由不等式恒成立，构造函数分，，再利用导数论证即可.

（2）由（1）得，当时，，易得，将证，，转化为证明，然后分，，令，利用导数结合证明即可.

（1），，

，，

（i），，在递增，又，与题意不符，舍去.

（ii），；，在递减，在递增，

，

由已知得恒成立，

所以需，

所以需①

设，，，，

在递增，在递减，所以，即②

由①②得实数的值1.

综上.

（2）由（1）得，当时，，即，，

欲证：，，即证：，

即证：.

①当时，，

②当时，令，则，；，

在递减，在递增，所以时，，

由已知，故，即当时，，所以时，，

综上，时，恒成立，故，

成立.