Question

【题目】，，…，是一个数列，对每个，，.如果，两数不同，写；如果，两数相同，写.于是得到一个新数列，，…，，其中.重复上述方法，得到一个由0及1两个数字组成的三角形数表，最后一行仅一个数字，求这张数字表中1的和的最大值.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

用表示所求数目的最大值，当时，；对于，；对于，；因为，，一共有6种可能的排列；0，0，0；1，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；0，1，0；在第2，3，4种情况时，，其余情况皆小于4.

现在寻找与的关系，考虑行情况，前三行为

…

…

…

下面证明，在前三行中，有不少于个零，如果三数中至少有一个零，将这三数作为一组，捆在一起，放入一个盒内，如果某全为1，那么，，，及两组，捆在一起，至少有两个零，也放入这个盒内，那么从第一组开始，依次进行上述操作，最后，有两种可能：第一种可能已放入盒内，这时盒内至少有个零，最后三数至少有一个零；第二种可能由于全为1，没放入盒内，这时盒内至少有个零，但，，两组与中至少有两个零，因此，前三行至少有个零，换句话讲，前三行至多个1，那么有. ①

当时，从上式，有

，

，

，

……

.

上述不等式相加，有. ②

当，从①出发，类似可证. ③

当，有. ④

②、③和④可以合并为一个不等式. ⑤

能达到，看下图.

1 1 0 1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1 0 1

1 0 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1

1 0 1 1

1 1 0

0 1

1

每三行作为一段，在一段内，第一行是1，1，0三数不断周期出现，第一行数的个数恰为3的倍数.第二行是0，1，1三数不断周期出现，最后二个数字是0，1，第三行是1，0，1三数不断周期出现，最后一个数字是1，换句话讲，倒过来数，每行1的数目分别为1，1，2，3，3，4，5，5，6，…，那么，

， ⑥

， ⑦

， ⑧

这里是正整数.当时，⑦、⑧也是正确的.

由⑥、⑦和⑧可以合并为一个不等式.

因此，.