[题目]在平面直角坐标系中.已知椭圆E:的离心率是.短轴长为2.若点A.B分别是椭圆E的左右顶点.动点..直线交椭圆E于P点.(1)求椭圆E的方程(2)①求证:是定值,②设的面积为.四边形的面积为.求的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率是，短轴长为2，若点A，B分别是椭圆E的左右顶点，动点，，直线交椭圆E于P点.

（1）求椭圆E的方程

（2）①求证：是定值；

②设的面积为，四边形的面积为，求的最大值.

【答案】（1）（2）①见解析；②1

【解析】

（1）由已知可得的值，再由离心率得到关系，转化为关系，即可求出椭圆方程；

（2）①由（1）得，求出直线方程，与椭圆方程联立，求出点坐标，进而得出坐标，即可证明结论；

②，将表示为关于的函数，进而得出关于的函数，整理利用的范围，即可求解.

（1）∵短轴长为2，∴，

∵

∴，∴椭圆方程为

（2） ①法一：∵ 设：

∴∴

∴ ∴

∴

②∵

∴

当时等号成立，

∴的最大值为1

法二：①设：

∴

其中，，

∴，，

∴

②

∴

由于，所以直线的斜率

∴的最大值为1，当且仅当等号成立.

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