Question

【题目】已知，实数，函数，函数.

（Ⅰ）令，当时，试讨论函数在其定义域内的单调性；

（Ⅱ）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立？若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）求导，讨论参数的大小，进而研究函数的定义域和导数的符号变化，再确定函数的单调性；（Ⅱ）构造函数，讨论的范围和的大小关系，将问题转化为求函数的最值问题，再利用导数的符号变化确定函数的单调性，进而确定函数的最值．

详解：（Ⅰ）

1. ,此时函数的定义域为，故函数在内单调递增, 在内单调递减.

2. ,，

此时函数的定义域为，

令，此时恒成立. 令得，

函数在内单调递增，在内单调递减.

综上，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，函数在内单调递增, 在内单调递减.

（Ⅱ）当时，假设存在实数满足条件，

则在上恒成立．

1. 当时，

可化为，

令

问题转化为：对任意恒成立(*)；

又

（1） 时，因为，

故，所以函数在时单调递减，，

即，从而函数在时单调递增，

故，所以(*)成立，满足题意；

（2） 当，，

因为，所以，记，则当时，，

故，所以函数在时单调递增，，

从而函数在时单调递减，所以，此时(*)不成立；

所以当，恒成立时，；

2. 当时，

可化为

令，

问题转化为：对任意的恒成立(**)；

又

（1）时，，故，所以函数在时单调递增，，即，

从而函数在时单调递增，所以，此时(**)成立；

（2） 当时，

①若，必有，故函数在上单调递减，

所以，即，

从而函数在时单调递减，所以，此时(**)不成立；

② 若，则，所以时，

故函数在上单调递减，，即，

所以函数在时单调递减，所以，此时(**)不成立；

所以当，恒成立时，.

综上所述，当，恒成立时，，

从而实数的取值集合为.