Question

D．选修4-5：不等式证明选讲
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可得|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值，而

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值等于2，故x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解，根据数轴上的

1

2

、

5

2

 对应点到1和2对应点的距离之和等于2，可得不等式的解集．

解答：解：由题知，|x-1|+|x-2|≤

|a-b|+|a+b|

|a|

 恒成立，
故|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，当且仅当 （a+b）（a-b）≥0 时取等号，
∴

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值等于2，
∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的

1

2

、

5

2

 对应点到
1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[

1

2

，

5

2

]．

点评：本题是选考题，考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，是解题的关键．