已知双曲线:的左焦点为.左准线与轴的交点是圆的圆心.圆恰好经过坐标原点.设是圆上任意一点. (Ⅰ)求圆的方程, (Ⅱ)若直线与直线交于点.且为线段的中点.求直线被圆所截得的弦长, (Ⅲ)在平面上是否存在定点.使得对圆上任意的点有?若存在.求出点的坐标,若不存在.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

已知双曲线：的左焦点为，左准线与轴的交点是圆的圆心，圆恰好经过坐标原点，设是圆上任意一点.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若直线与直线交于点，且为线段的中点，求直线被圆所截得的弦长；

（Ⅲ）在平面上是否存在定点，使得对圆上任意的点有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）由双曲线E：，得：，，． …2分

又圆C过原点，所以圆C的方程为． …………………………3分

（Ⅱ）由题意，设，代入，得，……………4分

所以的斜率为，的方程为． ………………5分

所以到的距离为，

直线被圆C截得的弦长为．

故直线被圆C截得弦长为7． ……………………………………………………7分

（Ⅲ）设，，则由，得…………9分

整理得．①……………………10分

又在圆C上，所以．②

②代入①，得． ………………………12分

又由为圆C 上任意一点可知，，解得．

所以在平面上存在一点P，其坐标为． …………………………14分

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