Question

如图△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

 (1)求证：GF∥平面ABC；

(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；

(3)求几何体ADEBC的体积V.

Answer 1

解：

(1)证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH.

∵G，F分别是EC和BD的中点，

∴HG∥BC，HF∥DE.

又∵四边形ADEB为正方形，

∴DE∥AB，从而HF∥AB.

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.

∴平面HGF∥平面ABC.

∴GF∥平面ABC.

(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB.

又∵平面ABED⊥平面ABC，

∴BE⊥平面ABC.

∴BE⊥AC.

又∵CA²＋CB²＝AB²，∴AC⊥BC.

∴AC⊥平面BCE.

从而平面EBC⊥平面ACD.

(3)取AB的中点N，连接CN，∵AC＝BC，

∴CN⊥AB，且CN＝AB＝a.

又平面ABED⊥平面ABC，

∴CN⊥平面ABED.

∵C－ABED是四棱锥，

∴V_C－ABED＝S_ABED·CN＝a²·a＝a³.