Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=kS_n+2，又a₁=2，a₂=4
（1）求k的值及通项a_n
（2）若b_n=log₂a_n，试求所有正整数m，使为数列{S_n}中的项．

Answer 1

解：（1）当n=1时，S₂=kS₁+2，即a₁+a₂=ka₁+2，将a₁=2，a₂=4
代入上式，得k=2；（2分）
当n≥2时，（1）-（2）得a_n+1=2a_n（4分）
又因为，所以a_n为首项为2，公比为2的等比数列，（6分）
所以a_n=2ⁿ．（7分）
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n，S_n=2ⁿ⁺¹-2（9分）
则（10分）
因为m∈N⁺，S_n∈N⁺，所以m∈1，2，当m=1时，
当m=2时，所以m=1或m=2（14分）
分析：（1）当n=1时，S₂=kS₁+2，即a₁+a₂=ka₁+2，将a₁=2，a₂=4，代入上式，得k=2；当n≥2时，能推导出a_n+1=2a_n，由此能导出a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=log₂a_n=n，知S_n=2ⁿ⁺¹-2，所以，由此能求出求所有正整数m，使为数列{S_n}中的项．
点评：本题考查数列的通项公式和利用数列知识求解实际问题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．