Question

以椭圆x²+a²y²=a²（a＞1）的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，试问：
（1）这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程．若不存在，说明理由．
（2）这样的等腰直角三角形若存在，最多有几个？

Answer 1

分析：（1）这样的等腰直角三角形存在．直线y=x+1与直线y=-x+1满足题意；
（2）设出CA所在的直线方程，代入椭圆的方程并整理，求出|CA|，同理求出|CB|，由|CA|=|CB|得（k-1）[k²-（a²-1）k+1]=0，讨论方程根的情况，即可得出结论．

解答：解：（1）这样的等腰直角三角形存在．
因为直线y=x+1与直线y=-x+1垂直，且关于y轴对称，所以直线y=x+1与直线y=-x+1是一个等腰直角三角形的两腰所在的直线方程．
（2）设A，B两点分别居于y轴的左，右两侧，设CA的斜率为k，则k＞0，
CA所在的直线方程为y=kx+1，代入椭圆的方程并整理得（a²k²+1）x²+2a²kx=0，
∴x=0或x=-

2a2k

a2k2+1

，
∴A的横坐标为-

2a2k

a2k2+1

，
∴|CA|=

2a2k 1+k2

a2k2+1

，
同理可得|CB|=

2a2 1+k2

a2+k2

，
所以由|CA|=|CB|得

k

a2k2+1

=

1

a2+k2

，
∴（k-1）[k²-（a²-1）k+1]=0…（1），
当1＜a＜

3

时，（1）的解是k=1，k²-（a²-1）k+1=0无实数解；
当a=

3

时，（1）的解是k=1，k²-（a²-1）k+1=0的解也是k=1；
当a＞

3

时，（1）的解除k=1外，方程k²-（a²-1）k+1=0有两个不相等的正根，且都不等于1，故（1）有3个正根．
∴符合题意的等腰直角三角形一定存在，最多有3个．

点评：本题考查直线方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查方程根的讨论，考查学生分析解决问题的能力，正确得出（k-1）[k²-（a²-1）k+1]=0是关键．