Question

【题目】已知是定义在上的奇函数，且，对任意的且 时，有成立．

（1）判断在上的单调性，并用定义证明；

（2）解不等式；

（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或.

【解析】

（1）利用函数单调性的定义，结合函数为奇函数以及题目所给已知条件，证得，由此判断出函数在上递增.（2）根据函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集.（3）根据的单调性，将问题转化为，对恒成立问题来求解，构造函数，结合一次函数的性质列不等式，解不等式求得的取值范围.

（1）证明任取且，则，

∵为奇函数，∴,

∴

由已知得，,

∴，即，∴在上单调递增．

(2)∵在上单调递增，∴，解得 .

不等式的解集为

(3)∵，在上单调递增，∴在上，.

问题转化为，即，对恒成立．

设.

①若，则，对恒成立．

②若，则为的一次函数，若，对恒成立，必须，且，∴或.

∴的取值范围是或或.