Question

【题目】已知向量 =（cosωx﹣sinωx，sinωx）， =（﹣cosωx﹣sinωx，2 cosωx），设函数f（x）= +λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（ ，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（ ，0）求函数f（x）在区间[0， ]上的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= +λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2 cosωx+λ

=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+ sin2ωx+λ

= sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣ ）+λ

∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣ = +kπ，k∈z

∴ω= + ，又ω∈（ ，1）

∴k=1时，ω=

∴函数f（x）的最小正周期为 =

（2）解：∵f（ ）=0

∴2sin（2× × ﹣ ）+λ=0

∴λ=﹣

∴f（x）=2sin（ x﹣ ）﹣

由x∈[0， ]

∴ x﹣ ∈[﹣ ， ]

∴sin（ x﹣ ）∈[﹣ ，1]

∴2sin（ x﹣ ）﹣ =f（x）∈[﹣1﹣ ，2﹣ ]

故函数f（x）在区间[0， ]上的取值范围为[﹣1﹣ ，2﹣ ]

【解析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．