Question

已知函数f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（2）求出f（x）的周期、单调增区间；
（3）说明此函数图象可由y=sinx的图象经怎样的变换得到．

Answer 1

分析：（1）列表，令

x

2

+

π

6

 分别等于0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求得对应的x，y值，以这五对x，y值作为点的坐标，在坐标系中描出，用平滑曲线连接，即得它在一个周期内的闭区间上的图象．
（2）根据图象写出周期，由 2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即得单调增区间．
（3）把y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再把各点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），再把各点向上平移3个单位，即得函数y=3sin（

x

2

+

π

6

 ）+3
的图象．

解答：解：（1）列表：

x 2 + π 6	0	π 2	π	3π 2	2 π
x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
y=3sin（2x+）+3	3	6	3	0	3

作图：

（2）由图象可得 周期T=4π，由 2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，
故单调增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，k∈z．
（3）把y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
再把各点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），再把各点向上平移3个单位，即得函数y=3sin（

x

2

+

π

6

 ）+3
的图象．

点评：本题考查用五点法作y=Asin（ωx+∅）+b的图象，以及此函数的性质、图象变换，用五点法作y=Asin（ωx+∅）+b的图象，是解题的关键．