Question

【题目】已知抛物线C： ，点在x轴的正半轴上，过点M的直线与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．

（1）若，且直线的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

（2）是否存在定点M，使得不论直线绕点M如何转动， 恒为定值？

Answer 1

【答案】（1）以AB为直径的圆的方程是；（2）存在定点，满足题意．

【解析】试题分析：（1）由题意得，直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得圆心坐标和圆的半径，从而可得圆的方程．

（2）若存在定点这样的点，使得恒为定值；直线： 与抛物线C： 联立，计算,，利用恒为定值，可求出点的坐标．

试题解析：（1）当时， ，此时，点M为抛物线C的焦点，

直线的方程为，设，联立，

消去y得， ，∴， ，∴圆心坐标为．

又，∴圆的半径为4，∴圆的方程为．

（2）由题意可设直线的方程为，则直线的方程与抛物线C： 联立，

消去x得： ，则， ，

对任意恒为定值，

于是，此时．

∴存在定点，满足题意．