Question

【题目】已知圆，圆心为，定点， 为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）为坐标原点， 是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）分析题意可得点满足的几何条件，根据椭圆的定义可得轨迹，从而可求得轨迹方程；（Ⅱ）先由直线与相切得到，将直线方程与椭圆方程联立，并结合一元二次方程根与系数的关系可得，由且，进一步得到k的范围，最后根据三角形面积公式并结合函数的单调性求的取值范围。

试题解析：

（Ⅰ）∵

∴为线段中点

∵

∴为线段的中垂线

∴

∵

∴由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，

设椭圆的标准方程为，

则， ，

∴。

∴点的轨迹的方程为。

（Ⅱ）∵圆与直线相切，

∴，即，

由，消去.

∵直线与椭圆交于两个不同点，

∴，

将代入上式，可得，

设， ，

则， ，

∴ ，

∴

∴，

∵，解得.满足。

又，

设，则.

∴ ，

∴

故面积的取值范围为。