Question

【题目】已知函数．

（1）记，求证：函数在区间内有且仅有一个零点；

（2）用表示中的最小值，设函数，若关于的方程（其中为常数）在区间有两个不相等的实根，记在内的零点为，试证明：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，得到函数的单调性，结合零点存在定理证出结论即可；（2）问题转化为证明，根据在上递减，即证明，根据函数的单调性证明即可．

试题解析：（1）证明：，

显然当时，，故在上单调递增，

而，所以由零点存在定理知，

必存在唯一，使得，

即函数在区间内有且仅有一个零点．

（2）由（1）问可知，且时，，时，

因此，

其中满足即，（事实上），

而时，，时，，

因此在，若方程在区间有两个不相等的实根，

，则必有，

所证，因为在单调递减，

所以只需证，而，所以只需证，

即证明：，

构造函数，，

发现，，

下证明时，恒成立，

考查函数，所以在，

所以一定有，

因此，时，，

即在，所以时，即成立了．