Question

【题目】已知f（x）=xlnx﹣ax，g（x）=﹣x2﹣2．
（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=﹣1时，求函数f（x）在区间[m，m+3]（m＞0）上的最值；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有 成立．

Answer 1

【答案】
（1）

解：对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立．

也就是 在x∈（0，+∞）上恒成立．令 ，

则 ．x∈（0，1）时，F'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0．

因此F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F（x）min=F（1）=3，

∴a≤3；

（2）

解：当a=﹣1时，f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，由f'（x）=0得 ．

当 时，在 上f'（x）＜0，在 上f'（x）＞0．

因此f（x）在 处取得极小值，也是最小值．故 ．

由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，

因此f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．

当 时，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，

故f（x）min=f（m）=m（lnm+1），f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]；

（3）

证明：要证 成立，即证 ，x∈（0，+∞）．

由（2）知a=﹣1时，f（x）=xlnx+x的最小值是 ，当且仅当 时取等号．

设 ，x∈（0，+∞），则 ，易知 ，

当且仅当x=1时取到．

从而可知对一切x∈（0，+∞），都有 ．

【解析】（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立，可化为a≤lnx+x+ 在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+ ，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；（2）把a=﹣1代入f（x），再求出f′（x），由f'（x）=0得 ，然后分类讨论，当 时，在 上f'（x）＜0，在 上f'（x）＞0，因此f（x）在 处取得极小值，由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，因此f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]，当 时，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，从而可求出函数f（x）在区间[m，m+3]（m＞0）上的最值；（3）要证 成立，即证 ，由（Ⅱ）知a=﹣1时，f（x）的最小值是 ，当且仅当 时取等号．设 ，x∈（0，+∞），则 ，易知 ，当且仅当x=1时取到，即可证得结论．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．