Question

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是椭圆C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2)的取值范围为[，）．

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 设F₂(c，0)，则

＝，

所以c＝1．

因为离心率e＝，所以a＝．

所以椭圆C的方程为．                  5分

(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，此时P(，0)、Q(,0)

．

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由  得

(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，

则－1＋4mk＝0，

故k＝．

此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为

．

即  ．

联立 消去y，整理得

．

所以，．

于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

．

令t＝1＋32m²，1＜t＜29，则

．

又1＜t＜29，所以

．

综上，的取值范围为[，）．     13分

考点：椭圆的性质以及直线于椭圆的位置关系

点评：解决的关键是根据椭圆的几何性质来得到其方程，然后结合联立方程组来得到向量的坐标关系式，进而通过向量的数量积来得到结论，属于中档题。