Question

【题目】已知线段AB的端点B的坐标是（4，2），端点A在圆C：（x+2）2+y2＝16上运动．

（1）求线段AB的中点的轨迹方程H．

（2）判断（1）中轨迹H与圆C的位置关系．

（3）过点P（3，2）作两条相互垂直的直线MN，EF，分别交（1）中轨迹H于M，N和E，F，求四边形MNFE面积的最大值

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．（2）两圆相交．（3）．

【解析】

(1)设,,中点,根据已知关系,由相关点法即可得出圆的方程;

(2)比较圆心距与两圆半径的关系,得出两圆位置关系;

(3)根据圆的完美性,本题把圆和点同时向左和向下平移一个单位后,就可以把问题转换为与圆的问题求解.

(1)设A(x0,y0),中点H(x,y),

则,∴,

代入圆C:(x+2)2+y2=16中,

化简得圆H:(x﹣1)2+(y﹣1)2=4;

(2)两圆圆心分别为C(﹣2,0),H(1,1),半径分别为,

∴圆心距d,

∴r1﹣r2<d<r1+r2

∴两圆相交;

(3)根据圆的完美性,本题把圆和点同时向左和向下平移一个单位后,

就可以把问题转换为(2,1)与圆x2+y2=4的问题,

为方便,点名均不变,则P(2,1),H(0,0),

记圆心H到直线MN,EF的距离分别为d1,d2,

则,r=2,

,

,

,

,

所以四边形MNFE的面积为

,

又由可以得|x1x2+y1y2|,

所以,

当且仅当d1=d2时取等号,

即四边形MNFE的面积最大为.