Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为2。

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C上是否存在一点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求点P的坐标与直线l的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）； （2），直线，或，直线．

【解析】

(1) 设，可得直线l的方程为，运用点到直线距离公式，可求出c,再由离心率公式即可求出a,b从而可得椭圆方程;

(2) 设，，, 设代入椭圆方程消元，再由韦达定理和向量的坐标运算，求出点P的坐标，代入椭圆方程，即可求出结果.

（1）设，可得直线l的方程为，

即为，由坐标原点O到l的距离为2，

即有，解得，

由，可得，b=2，

即有椭圆的方程为；

（2）设，，，

①当直线的斜率存在，设其方程为：

由，消去y得．

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

将P点坐标代入椭圆得，

∴，∴（舍去），即为．

当时，，直线，

当时，，直线．

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，

依题意，四边形OAPB为菱形，此时点P不在椭圆上，

即当直线的斜率不存在时，不适合题意；

综上所述，存在P，且，直线，

或，直线．