Question

已知两定点，坐标分别为A(-

3

3

，0)，B(

2 3

3

，0)，动点P满足条件∠PBA=2∠PAB，求动点P的轨迹C的方程．

Answer 1

分析：用动点P的坐标体现2∠PAB=∠PBA的最佳载体是直线PA、PB的斜率，确定直线的斜率可求．

解答：解：设P（x，y），∠PAB=α，则∠PBA=2α，它们是直线PA、PB的倾角还是倾角的补角，与点P在x轴的上方还是下方有关；以下讨论：
①若点P在x轴的上方，α∈（0，

π

2

），y＞0，
此时，直线PA的倾角为α，PB的倾角为π-2α，
∴tanα=k_PA=

y

x+ 3 3

，tan（π-2α）=

y

x- 2 3 3

，（2α≠90⁰）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-

y

x+ 3 3

=

2× y x+ 3 3

1-( y x+ 3 3 )2

，得：3x²-y²=1，
∵|PA|≥|PB|，∴x≥

3

3

．
②当点P在x轴的下方时，y＜0，同理可得点M的轨迹方程为3x²-y²=3（x≥

3

3

），
③当点P在线段AB上时，也满足2∠PAB=∠PBA，此时y=0，(-

3

3

＜x＜

2 3

3

)．
综上所求点的轨迹方程为3x2-y2=1   (x≥

3

3

)，y=0    (-

3

3

＜x＜

2 3

3

)．

点评：本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，如何体现动点M满足的条件2∠PAB=∠PBA是解决本题的关键，属于中档题．