Question

【题目】已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 + = ．
（1）求b的值；
（2）若cosB+ sinB=2，求a+c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC中， + = ，

∴ + = ，

∴ = ，

解得b= ；

（2）解：∵cosB+ sinB=2，

∴cosB=2﹣ sinB，

∴sin2B+cos2B=sin2B+ =4sin2B﹣4 sinB+4=1，

∴4sin2B﹣4 sinB+3=0，

解得sinB= ；

从而求得cosB= ，

∴B= ；

由正弦定理得 = = = =1，

∴a=sinA，c=sinC；

由A+B+C=π得A+C= ，

∴C= ﹣A，且0＜A＜ ；

∴a+c=sinA+sinC

=sinA+sin（ ﹣A）

=sinA+sin cosA﹣cos sinA

= sinA+ cosA

= sin（A+ ），

∵0＜A＜ ，∴ ＜A+ ＜ ，

∴ ＜sin（A+ ）≤1，

∴ ＜ sin（A+ ）≤ ，

∴a+c的取值范围是（ ， ]．

【解析】（1）应用正弦、余弦定理化简 + = ，即可求出b的值；（2）根据cosB+ sinB=2与平方关系sin2B+cos2B=1，求得sinB、cosB，从而求得B的值，再由正弦定理求得a=sinA，c=sinC；利用A+B+C=π求得C= ﹣A，且0＜A＜ ；

再利用三角恒等变换求a+c=sinA+sinC的取值范围．

【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:才能正确解答此题．