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(2011•南汇区二模)函数f(x)=
ax2+bx+c
的图象关于任意直线l对称后的图象依然为某函数图象,则实数a,b,c应满足的充要条件为
a<0,b2-4ac=0
a<0,b2-4ac=0
分析:函数关于任意直线l对称后的图象依然为某函数图象,根据函数的定义中,象的唯一性,我们可得不论函数f(x)=
ax2+bx+c
的图象怎么变换,函数图象均不会与平行于y轴的直线有两个或两个以上的交点,则函数的图象必然是一个点,再结合函数y=ax2+bx+c的性质,我们易得当且仅当ax2+bx+c∈{0}时,满足要求,进而即可求出f(x)中a,b,c应满足a<0,b2-4ac=0.
解答:解:∵函数 f(x)=ax2+bx+c的图象关于任意直线l对称后的图象依然为某函数图象
则函数图象必是一个点
结合函数y=ax2+bx+c的性质
当且仅当y=0时,有且只有一个x与之对应
故只有ax2+bx+c=0时,满足要求.故ax2+bx+c≤0在R上恒成立,所以a<0,b2-4ac=0
故答案为;a<0,b2-4ac=0.
点评:本题考查的知识点是函数的定义,理解函数的概念,并由此根据函数的图象关于任意直线l对称后的图象依然为某函数图象,得到函数f(x)=
ax2+bx+c
的图象必为一个点,是解答本题的关键.
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(3)以下给出曲线C的五个方面的性质,请你选择其中的三个方面进行研究,并说明理由(若你研究的方面多于三个,我们将只对试卷解答中的前三项予以评分).
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