Question

（1）已知，求C₈^m；
（2）解方程C₁₆^x2-x=C₁₆^5x-5；
（3）计算C₁₀⁰+C₁₁¹+C₁₂²+…+C₁₀₀⁹⁹．

Answer 1

解：（1）由已知得，
化简得m²-23m+42=0，
解得m=2或21，
但0≤m≤5，故m=2．
∴．
（2）原方程可化为x²-x=5x-5或x²-x=16-（5x-5），
即x²-6x+5=0或x²+4x-21=0，
解得x=1或x=5或x=-7或x=3，
经检验x=5或x=-7不合题意，
故原方程的根为x=1或x=3．
（3）原式=（C₁₁⁰+C₁₁¹）+C₁₂²+…+C₁₀₀⁹⁹=（C₁₂¹+C₁₂²）+…+C₁₀₀⁹⁹
=（C₁₃²+C₁₃³）++C₁₀₀⁹⁹=．
分析：（1）根据所给的组合数的算式，把算式分解，约分整理，得到关于m的一元二次方程方程，解方程得到两个根，根据组合数的性质去掉不合题意的数字．
（2）把组合数分解，得到关于字母x的方程，是两个方程，解两个一元二次方程，得到四个结果，有两个结果不合题意，舍去．
（3）本题所给的一系列组合数的加法运算，遇到这种题目，一般考虑用组合数的性质，把前两项用组合数的性质，得到一个组合数，再把得到的结果和第三项用组合数的性质，以此类推，得到结果．
点评：本题是排列和组合数的运算，根据排列和组合的公式，写出算式，通过加减乘运算，得到结果，这类问题有一大部分是考查排列和组合的性质的，本题是一个简单的运算．