Question

【题目】在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为.设过点的直线，与此椭圆分别交于点，，其中，，.

（1）设动点满足：，求点的轨迹；

（2）设，，求点的坐标；

（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】(1) 的轨迹为直线. (2) (3) 直线必过轴上一定点.

【解析】

（1）根据椭圆的标准方程可得、、的坐标,设动点.根据条件,结合两点间距离公式,化简即可得解.

（2）根据,代入椭圆方程即可求得、的坐标.进而求得直线与直线的方程.联立两条直线方程即可求得交点的坐标.

（3）设出直线与直线的方程,分别联立椭圆方程即可表示出、的坐标.讨论与,并分别求得的值.即可求得所过定点的坐标.

（1）由题设得,,,,设动点,

由,,,

代入化简得.

故点的轨迹为直线

（2）由,,得,则点,

直线的方程为,

由,,得,则点.

直线的方程为,

由.解方程组可得

即

（3）由题设知,直线的方程为：,直线的方程为：,

点满足,,；

点满足,,；

若,且,得,

此时直线的方程为,过点；

若,则,直线的斜率,

直线的斜率,

所以,所以直线过点.

因此直线必过轴上一定点.