Question

设函数，曲线通过点(0，2a+3)，且在处的切线垂直于y轴．
(I)用a分别表示b和c；
(II)当bc取得最大值时，写出的解析式；
(III)在(II)的条件下，若函数g(x)为偶函数,且当时,，求当时g(x)的表达式，并求函数g(x)在R上的最小值及相应的x值．

Answer 1

（I）由已知可得，.
（II）.
（III）时，的最大值是.

解析试题分析：（I）根据及导数的几何意义即得到的关系.
（II）将表示成，应用二次函数知识，当时，取到最大值，得到，从而得到.
（III）首先由函数 为偶函数，且当时，
得到当时，通过求导数并讨论时
时，时，的正负号，明确在区间是减函数，在是增函数，
肯定时，有最小值.
再根据为偶函数，得到时，也有最小值，
作出结论.
试题解析：（I）由已知可得
又因为.
（II），
所以当时，取到最大值，此时，
.
（III）因为，函数 为偶函数，且当时，
所以，当时，
此时，
当时，，当时，，
所以，在区间是减函数，在是增函数，
所以时，有最小值.
又因为为偶函数，故当时，也有最小值，
综上可知时，.
考点：二次函数的性质，导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、极值.