Question

某种空气清洁剂在实验效果时，发现空气含剂量y（μg/m³）与时间x之间存在函数关系，其变化的图象如下图所示．其中的曲线部分是某函数y=log

1

2

（x+b）的图象（虚线部分为曲线的延展）．图中表明，喷洒1小时后，空气含剂量最高，达到3μg/m³，以后逐步减小．
（1）求出空气含剂量y关于时间x的函数表达式及定义域．
（2）实验证明，当空气含剂量不低于2μg/m³时，空气清洁的效果最佳．求一次喷洒的“最佳效果”持续时间．

Answer 1

分析：将点（1，3）分别代入y=kx，y=log

1

2

（x+b）中，求k、b，确定函数关系式，再把y=2代入两个函数式中求t，把所求两个时间t作差即可．

解答：解：（1）当x≤1时，图象是一线段，得解析式为y=kx，将点（1，3）坐标代入得k=3，∴y=3x
把（1，3）坐标代入y=log

1

2

（x+b）得．

log

(1+b) 1 2

=3，∴1+b=(

1

2

)3=

1

8

，∴b=-

7

8

∴y=

log	(x- 7 8 ) 1 2

∴，令y=0得x=

15

8

∴函数的解析式为：y=

3x，0≤x≤1 log (x- 7 8 ) 1 2 ，1≤x≤ 15 8

（2）当0≤x≤1时，在y=3x中令y=2得x₁=

2

3

，
当1≤x≤

15

8

时，在y=

log	(x- 7 8 ) 1 2

中，令y=2得：

log	(x- 7 8 ) 1 2

=2，得x₂=

9

8

x=x2-x1=

9

8

-

2

3

=

11

24

故最佳效果持续时间为

11

24

小时．

点评：本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想，属于基础题．解决实际问题关键是建立数学模型．