Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）先求得函数的导函数，然后根据三种情况，讨论的单调性.

（2）由题可知在上恒成立，构造函数，利用导数研究的单调性和最值，对分成两种进行分类讨论，根据在上恒成立，求得的取值范围.

（1），

当时，令，得，令，得或，

所以在上单调递增，在上单调递减．

当时，在上单调递增．

当时，令，得，令，得或，

所以在上单调递减，在上单调递增．

（2）由题可知在上恒成立，

令，则，

令，则，

所以在上为减函数，．

当时，，即在上为减函数，

则，所以，即，得．

当时，令，若，则，

所以，所以，

又，所以在上有唯一零点，设为，

在上，，即单调递增，在上，，即单调递减，则的最大值为，

所以恒成立．

由，得，则．

因为，所以，由，得．

记，则，

所以在上是减函数，故．

综上，的取值范围为．