Question

【题目】由于近几年我国多地区的雾霾天气，引起口罩热销，某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查该批口罩销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中，为常数）.已知生产该批口罩还要投入成本万元（不包含促销费用），口罩的销售价格定为元/件.

（1）将该批口罩的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（2）当促销费用投入多少万元时，该厂家的利润最大？

Answer 1

【答案】（1）（2）当时，促销费用投入2万元时，该厂家的利润最大；当时，促销费用投入a万元时，该厂家的利润最大.

【解析】

（1）由题目提供的等量关系直接写出函数表达式即可得解；

（2）根据函数表达式，利用基本不等式和导数即可求出最值，即可得解.

（1）由题意得，

将可得，

（2），

当且仅当即时等号成立.

当时，促销费用投入2万元时，该厂家的利润最大；

当时，由可得函数在上单调递增，即当促销费用投入a万元时，该厂家的利润最大.

综上，当时，促销费用投入2万元时，该厂家的利润最大；当时，促销费用投入a万元时，该厂家的利润最大.