Question

【题目】己知函数 .

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，，求的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见证明

【解析】

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x），x＞0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数f（x）的单调性．

（2）先求k的取值范围是，再证明f（﹣2k）＝ln（﹣2k）0．然后证明x1+x2≥2，即证（1）（1+t）2＜﹣8lnt，即证8lnt+（）（1+t）2＜0，（t＞0）．设h（t）＝8lnt+（）（1+t）2，t＞1．则h（t）＝8lnt﹣t2﹣2t，t＞1．由此能证明x1+x2＞2．

（1）解：因为，函数的定义域为，

所以．

当时，，

所以函数在上单调递增．

当时，由，得（负根舍去），

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减；在上单调递增．

综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增

（2）先求的取值范围：

方法1:由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

要使函数有两个零点，首先，解得．

因为，且，

下面证明．

设，则．

因为，所以．

所以在上单调递增，

所以 ．

所以的取值范围是．

方法2:由，得到．

设，则．

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以由 ．

因为时，，且，

要使函数有两个零点，必有．

所以的取值范围是．

再证明：

方法1:因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则．

所以即．

所以，即，，．

要证，即证．

即证，即证．

因为，所以即证，

或证 ．

设，．

即，．

所以．

所以在上单调递减，

所以．

所以．

方法2:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．

所以即．

所以，即，，．

要证，需证．

即证，即证．

因为，所以即证 ．

设，

则，．

所以在上单调递减，

所以 ．

所以．

方法3:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．

所以即．

要证，需证．

只需证．

即证，即证．

即证．

因为，所以，即．

所以．

而，

所以成立．

所以．

方法4:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．

由已知得即．

先证明，即证明 ．

设，则．

所以在上单调递增，所以，所证不等式成立．

所以有 ．

即．

因为（），

所以，即．

所以．

方法5:要证，其中 ， ，

即证．

利用函数的单调性，只需证明．

因为，所以只要证明，其中 ．

构造函数，，

则．

因为

（利用均值不等式）

，

所以在