Question

【题目】设函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，讨论函数与图象的交点个数.

Answer 1

【答案】（１）当时，函数的单调增区间是，无减区间；当时，函数的单调增区间是，减区间是.（２）函数有唯一零点，

【解析】

试题分析：（１）先求导数，再在定义区间内研究导函数零点：当时，，当时，由一个零点，最后列表分析导函数符号确定单调区间（２）先构造函数，求导数，研究导函数零点：当时，一个零点；当时,两个相同零点；当时，两个不同零点，列表分析对应区间导函数符号，确定单调性，最后利用零点存在定理说明零点个数

试题解析：⑴解：函数的定义域为，，

当时，，所以函数的单调增区间是，无减区间；

当时，；当时，，函数的单调递减；当时，，函数的单调递增.

综上：当时，函数的单调增区间是，无减区间；当时，函数的单调增区间是，减区间是.

⑵解：令，问题等价于求函数的零点个数，--5分

当时，，有唯一零点；当时，

当时,，函数为减函数，

注意到,，所以有唯一零点；

当时，或时，时，所以函数在和单调递减，在单调递增，注意到，

，所以有唯一零点；

当时，或时，时，

所以函数在和单调递减，在单调递增，意到，

所以，而，所以有唯一零点. -11分

综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.