Question

【题目】已知函数在点处的切线方程为．

（1）求函数的解析式；

（2）若经过点可以作出曲线的三条切线，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：

（1）求出函数的导函数，然后根据导数的几何意义得到关于的方程组，解方程组求得后可得函数的解析式．（2）设出切点，求导数后可得，即为切线的斜率，然后根据斜率公式可得，即．若函数有三条切线，则函数有三个不同的零点，根据函数的极值可得所求范围．

试题解析；

（1）∵，

∴，

根据题意得，解得，

∴函数的解析式为.

（2）由（1）得．

设切点为，则， ，故切线的斜率为，

由题意得，

即，

∵ 过点可作曲线的三条切线

∴方程有三个不同的实数解，

∴函数有三个不同的零点．

由于，

∴当时， 单调递增，

当时， 单调递减，

当时， 单调递增.

∴当时， 有极大值，且极大值为；

当时， 有极小值，且极小值为．

∵函数有3个零点，

∴，

解得．

∴实数的取值范围是．