Question

【题目】已知函数.

（1）试讨论的单调性；

（2）当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求得，然后对与的大小关系进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）由题意可知，可得出函数的两个极值分别为、，由题意得出，由此得出，令，由题意得，进而可得出实数的值.

（1），.

当时，，此时，函数在上单调递增；

当时，令，得，令，得或.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；

当时，令，得，令，得或.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；

（2）当时，函数在上单调递增，至多一个零点，不合乎题意，

所以，，则函数有两个极值，.

若函数有三个不同的零点，则，即，

由于的取值范围恰好是，

令，则该函数的三个零点分别为、、.

由，得或；

由，得或；

由，得或.

因此，.