Question

（本小题满分12分）已知对任意的实数m,直线都不与曲线相切．

（I）求实数的取值范围；

（II）当时，函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴的距离不小于.试证明你的结论．

Answer 1

解：（I），                        …………2分

∵对任意，直线都不与相切，

∴，，实数的取值范围是；     …………4分

（II）存在，证明方法1：问题等价于当时，，

设，则在上是偶函数，故只要证明当时，，①当上单调递增，且，

；                           …………6分

②当，列表：

	+	0	-	0	+
		极大		极小

在上递减，在上递增，                  …………8分

注意到，且，

∴时，，时，，

∴，…………10分

由及，解得，此时成立．

∴．

由及，解得，此时成立．

∴．

∴在上至少存在一个，使得成立．    …………12分

（II）存在，证明方法2：反证法

假设在上不存在，使得成立，即，，

设，则在上是偶函数，

∴时，，                          …………4分

①当上单调递增，且，

，与矛盾；         …………6分

②当，列表：

	+	0	-	0	+
		极大		极小

在上递减，在上递增，                  …………8分

注意到，且，

∴时，，时，，

∴，……………10分

注意到，由：

，矛盾；，矛盾；

∴，与矛盾，

∴假设不成立，原命题成立．                …………12分