Question

如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求棱与所成的角的大小；
（Ⅲ）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

  证明：（Ⅰ）∵面∴,               

又，                        
∴面，                           
∵面， ∴平面平面；
（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，                 
，
故与棱BC所成的角是．                         
（Ⅲ）因为P为棱的中点，故易求得．                               
设平面的法向量为，
则,由 得 
令，则                                                        
而平面的法向量=(1,0,0)，则       
由图可知二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值是         

解析