【题目】设函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数恰有两个零点，求
的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）
，讨论a，求得单调性即可（2）利用（1）的分类讨论，研究函数最值，确定零点个数即可求解
（1）因为
，其定义域为
，
所以
.
①当
时，令
，得
；令
，得
，
此时
在
上单调递减，在
上单调递增.
②当
时，令，得或
；令，得
，
此时在，
上单调递减，在
上单调递增.
③当
时，
，此时在上单调递减.
④当
时，令，得
或；令，得
，
此时在
，上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）可知：①当时，
.
易证
，所以
.
因为
，
，
.
所以恰有两个不同的零点，只需
，解得
.
②当时，
，不符合题意.
③当时，在上单调递减，不符合题意.
④当时，由于在，上单调递减，在上单调递增，且
，又
，由于
，
，
所以
，函数最多只有1个零点，与题意不符.
综上可知，，即
的取值范围为
.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知点
在椭圆
上，过点作
轴于点
（1）求线段
的中点的轨迹
的方程
（2）设
、
两点在（1）中轨迹上，点
，两直线
与
的斜率之积为
，且（1）中轨迹上存在点
满足
，当
面积最小时，求直线
的方程．
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【题目】已知点F1，F2分别为椭圆
的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为
，且△PF1F2的最大面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）点M的坐标为
，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的
是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．
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【题目】中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A.每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B.从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D.从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列
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【题目】已知抛物线
（
），其准线方程
，直线
过点
（
），且与抛物线交于
、
两点，
为坐标原点.
（1）求抛物线方程，并注明：
的值与直线倾斜角的大小无关；
（2）若
为抛物线上的动点，记
的最小值为函数
，求的解析式.
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【题目】设函数
在
上有定义，实数
和
满足
，若在区间
上不存在最小值，则称在上具有性质
.
（1）当
，且在区间
上具有性质时，求常数
的取值范围；
（2）已知
（
），且当
时，
，判别在区间
上是否具有性质，试说明理由.
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【题目】已知椭圆
的左、右顶点分别为
，
，左、右焦点分别为
，
，离心率为
，点
，为线段
的中点．
（
）求椭圆
的方程．
（
）若过点
且斜率不为
的直线
与椭圆交于
、
两点，已知直线
与
相交于点
，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．
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