Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，且，，，点在上．

（1）求证：；

（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

试题第一问应用空间的垂直关系的转换，应用线面垂直得出线线垂直的

关系，第二问根据所给的二面角的大小，结合空间向量，从而确定出

点的位置，再用空间向量确定出线面角的正弦值．

试题解析：（Ⅰ）如图，设为的中点，连结，则，所以四边形为平行四边形，

故，又，

所以，故，

又因为平面，所以，

且，所以平面，故有分

（Ⅱ）如图，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

则，

设，易得，

设平面的一个法向量为，则，

令得，即．

又平面的一个法向量为，

由题知，解得，

即，而是平面的一个法向量，

设平面与平面所成的角为，则．

故直线与平面所成的角的正弦值为．分