Question

【题目】已知，函数，则下列说法正确的是( )

A.若，则的图象上存在唯一一对关于原点对称的点

B.存在实数使得的图象上存在两对关于原点对称的点

C.不存在实数使得的图象上存在两对关于轴对称的点

D.若的图象上存在关于轴对称的点，则

Answer 1

【答案】A

【解析】

求出关于原点对称的解析式和关于轴对称的解析式，构造函数，求导得到单调区间，根据函数零点的情况对比选项得到答案.

先求出关于原点对称的解析式，

设，则，，

令，则，，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，因此是单调递增的，

且，故当，有唯一零点，

故A正确B错误.

再求关于轴对称的解析式，

设，则，，

令，，恒成立，

故单调递增，，，

故存在使，即，

函数在上单调递减，在上单调递增，

故，

当时，函数有零点，C错误；

取，

则，函数有零点，故D错误.

故选：A.