Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面，，.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的大小；

（3）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值（用含的代数式表示）.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）根据三棱柱的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，再利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；

（2）由（1）得到，建立空间直角坐标系，求得向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（3）由，得，设，得，求得向量的坐标，结合平面，利用，即可求解.

（1）在三棱柱中，由平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面，交线为.

又因为，所以，所以平面.

因为平面，所以

又因为，所以，

又，所以平面.

（2）由（1）知底面，，如图建立空间直角坐标系，

由题意得，，，.

所以，.

所以.

故异面直线与所成角的大小为.

（3）易知平面的一个法向量，

由，得.

设，得，则

因为平面，所以，

即，解得，所以.