Question

【题目】学号为1，2，3的三位小学生，在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏，规则如下：投掷一颗骰子，将每次出现点数除以3，若学号与之同余(同除以3余数相同)，则该小学生可以上2阶楼梯，另外两位只能上1阶楼梯，假定他们都是从平地(0阶楼梯)开始向上爬，且楼梯数足够多.

（1）经过2次投掷骰子后，学号为1的同学站在第X阶楼梯上，试求X的分布列；

（2）经过多次投掷后，学号为3的小学生能站在第n阶楼梯的概率记为，试求，，的值，并探究数列可能满足的一个递推关系和通项公式.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析.（2），，，

【解析】

（1）由题意学号为1的同学可以上2阶楼梯的概率为，可以上1阶楼梯的概率为，分别求出、、，即可得解；

（2）由题意可得、、；由题意且，构造新数列即可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，再利用累加法即可得解.

（1）由题意，当投掷骰子出现1、4时，学号为1的同学可以上2阶楼梯，概率为，

当投掷骰子出现其他点数时，学号为1的同学可以上1阶楼梯，概率为，

由题意，

所以，，，

所以X的分布列为：

X	2	3	4
P

（2）表示学号为3的小朋友能站在第1阶楼梯的概率，

根据投掷骰子的规则，若出现点数为3或6，则他直接站在第2阶楼梯，否则站在第1阶楼梯.

故，同理可得：

，，

由于学号为3的小朋友能够站在第n阶楼梯，有两种可能：

从第阶楼梯投掷点数为3或6直接登2个台阶上来，

或从第阶楼梯只登1个台阶上来.

根据骰子投掷规则，登两阶的概率是，登一阶的概率是，

故且(*)

将(*)式可变形为，

从而知：数列是以为首项，以为公比的等比数列，

则有.

进而可得：当时，

；

当时，；

所以.