Question

【题目】如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，（1）求证： 四点共面； （2）若点在上， ，点在上， ，垂足为，求证： 面； （3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）四点共面问题通常我们将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理3的推论2、3可知，它们共面；（2）要证线面垂直，可以证明两个垂直平面内一条直线垂直两平面的交线即可；（3）可以证明就是二面角的平面角，在直角三角形中可解得的值.

试题解析：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN是平行四边形，所以DF//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以

CN//BE，所以DF//BE，所以四点共面。

（2）因为所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB

，且EM在平面ABBA内，所以面

（3）面，所以BF， MH， ，所以∠MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角，∠EMH=，所以，ME=AB=3， ∽MHB，所以3：MH=BF：1，BF=，所以MH=，所以=