Question

【题目】如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=BC=1且AD= AA1=2．

（1）求证：直线C1D⊥平面ACD1；
（2）试求三棱锥A1﹣ACD1的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在梯形ABCD内过C点作CE⊥AD交AD于点E，

则由底面四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=BC=1，

以及 可得：CE=1，且 ，AC⊥CD．

又由题意知CC1⊥面ABCD，从而AC⊥CC1，而CC1∩CD=C，

故AC⊥C1D．

因CD=CC1，及已知可得CDD1C1是正方形，从而C1D⊥CD1．

因C1D⊥CD1，C1D⊥AC，且AC∩CD1=C，

所以C1D⊥面ACD1．

（2）解：因三棱锥A1﹣ACD1与三棱锥C﹣AA1D1是相同的，故只需求三棱锥C﹣AA1D1的体积即可，而CE⊥AD，

且由AA1⊥面ABCD可得CE⊥AA1，又因为AD∩AA1=A，

所以有CE⊥平面ADD1A1，即CE为三棱锥C﹣AA1D1的高．

故

【解析】（1）通过证明C1D⊥CD1 ， C1D⊥AC，说明AC与CD1是平面ACD1内的两条相交直线，利用直线与平面垂直的判定定理证明直线C1D⊥平面ACD1；（2）求三棱锥A1﹣ACD1的体积．转化为三棱锥C﹣AA1D1的体积，求出底面面积与高，即可求解棱锥的体积．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．