Question

【题目】已知椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．
（1）若三角形AF1F2的周长为 ，求椭圆的标准方程；
（2）若 ，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求直线y=kx斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得 ，得a=2 ，c=3．

结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．

椭圆的方程为

（2）解：由 ，得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

∴ ，

依题意，AF2⊥BF2，

∵ ， ，

∴ = =0．

即 ，

将其整理为 ．

∵ ，∴12≤a2＜18．

∴ ，即k∈ ．

【解析】（1）由题意得 ，求出a、c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）联立 ，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，依题意，AF2⊥BF2 ， 利用向量数量积为0得到关于a，k的关系式，在结合a的范围得答案．