Question

（本题满分12分）

某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距海里的处，并正以海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？XK]

(2)为保证小艇在分钟内(含分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；[来(

(3)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

解法一：（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则

故时，，

即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小

（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇，

由题意可知，

化简得：

由于0＜t≤1/2，即1/t ≥2,

所以当=2时，

取得最小值，

即小艇航行速度的最小值为海里/小时。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，设，

于是。（*）

     小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：

解得。

所以的取值范围是。

解法二：

（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇。

在中，，

。

又,

此时，轮船航行时间，。

即，小艇以海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。

（Ⅱ）（Ⅲ）同解法一

 

【解析】略