Question

【题目】已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.

（1）求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；

（3）设函数 试证明：在上恒成立并证明

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）根据极值的信息，则选用导数法，先求，再由有极值，可有，又由在处的切线与直线平行，可得从而求解．

（2）存在．令得到函数的两个极值点，然后分区间讨论函数的增减性，得到函数的极小值令其等于1，讨论得到的值存在，求出即可；

（3）求得，利用导数工具在上是增函数，故，设，

则

，即，再利用累加法进行证明即可．

（1），

由题意，①

有极值，有两个不等实根，

②

由①、②可得，或，

故实数a的取值范围是

（2）存在由（1）可知，，令

，且

	+	0	－	0	+
	单调增	极大值	单调减	极小值	单调增

时，取极小值，则

或，若，即，则（舍）。

若，又，

，

存在实数，使得函数的极小值为1.

（3）由

故

则在上是增函数，故，所以在上恒为正。

当时，，设，则

即

上式分别取的值为1、2、3、……、（累加得：

，（）

，（）

，（）

，（）

即，，（），

当时，，