Question

【题目】已知抛物线的准线为，为上一动点，过点作抛物线的切线，切点分别为.

（I）求证：是直角三角形；

（II）轴上是否存在一定点，使三点共线.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）存在.

【解析】

（I）设出点M的坐标以及切线方程，并将其与联立消得，利用，得到，结合韦达定理得到，即可证明是直角三角形；

（II）设，由（I）可得，设出直线AB的方程与联立消得，结合韦达定理得到，解得，得到直线过定点，即可证明轴上存在一定点，使三点共线.

（I）由已知得直线的方程为，设，切线斜率为，则切线方程为，将其与联立消得.所以，化简得，所以，所以.即是直角三角形.

（II）由I知时，方程的根为

设切点，则.因为，所以.

设，与联立消得，则，所以，解得，所以直线过定点.

即轴上存在一定点，使三点共线.